Partiell derivering
Partiell Derivering handlar om att derivera en funktion med med flera variabler. Taktiken är helt enkelt att derivera en funktion i taget.
Så om x->f(x,b) och y->f(a,y)
Går det att derivera Bara x eller y-delen i taget. Det viktiga är att komma ihåg att behandla y-delen som en konstant när du deriverar x, och vice versa.
I definitionen av en partiell derivata kan du se (a,b) som just vektorn (a,b), för att sedan ta det ett steg till, sätt att vektorn är en n-vektor: (a1,...,aj,....,an). När du sedan ska derivera a-n-vektorn på en speciell plats sätter du det som i den "vanliga" derivatans definition som h som en h*ENHETSVEKTOR e. Vektorn e är en 0-vektor på alla platser förutom på den platsen du vill derivera. Så ej = (0,...,1,...,0) och 1-an hamnar på plats j i det här fallet j. Alltså blir definitionen.
lim (h->0) f(a+h*ej)-f(a) / h
Vilket är samma sak som att derivera en vanlig envariabelfunktion (förutom att de värdena som inte deriveras ska ses som konstanter).
EXEMPEL
Ex om f(x,y) deriveras med avseende på x. (jag skriver det som f'x(x,y) här på bloggen. ( Lägger upp en bild på olika sätt att skriva det för hand längst ner i det här inlägget).
f(x,y) = x + yx + y
f'x(x,y) = 1 + y
Vilket är samma sak som att se det som att y är en konstant i funktionen f(x) då
f(x) = x+yx+y
f'(x) = 1+y
Samma sak om du vill derivera med avseende på y.
VARNING 1
Kom ihåg att y är en variabel även och kan trots att det är en konstant i förhållande till x, konstanten anta olika värden (och är alltså inte en konstant utan en funktion av y). Säg att du får fram att f'x(x,y) = 0 betyder det att derivatan av (minst) en variabel (som i det här fallet är x) blir noll. MEN om y ändras så ändras förstås "konstanten" så det som blir kvar kallar vi inte för konstant utan fi(y).
VARNING 2
En flerdimensionell funktion KAN vara deriverbar i en viss punkt utan att vara kontinuerlig i den punkten!!! Vilket för oss in på nästa kapitel som är differentierbarhet.
Upphovsrätt till bilder
Jag funderar lite på om det är okej för mig att ta foton på bilderna i boken och sedan lägga upp dem på bloggen? Om någon av alla mina 0 läsare vet får de gärna förklara. I fortsättningen kommer jag att försöka rita egna bilder tills dess att jag fått klartecken att fota bilderna i boken. (Den här bilden har jag gjort själv)
Krafter
Hej Bloggen!
Här kommer ett inlägg om vektorer och krafter. En sammanfattning av de två första delkapitlena i kapitel 2. i boken Engineering Mechanics STATICS. kapitel 2/1 och 2/2 alltså. (vet att man ska ha massa bilder i en blogg så här kommer en bild på kursboken). Det blir lite definitioner så här i början, snart kommer mer tillämpningar och inte bara krafter så då kanske det blir lite roligare att läsa.
Krafter
Definition: En verkan av en kropp på en annan.
För att en kraft ska vara användbar ska den uppfylla tre kriterier, nämligen ha en:
- Storlek
- Riktning
- Punkt där den appliceras (point of application)
Inre och yttre effekter
En krafts verkan kan delas upp i två kategorier, en inre och en yttre effekt.
Den yttre effekten (external effect) kan man säga är en följd av en kraft. Exempelvis om du hänger upp en tavla på en krok kommer en kraft att påverka väggen (via kroken) trots att tavlan inte hänger bokstavligt talat på väggen.
Den inre effekten (internal effect) är (som jag uppfattat det) den kraft som påverkar allt "inom" det valda föremålet. hur kraften sprider sig i föremålet och deformerar det (någonting som är olika beroende på material).
Överförbarhet (Transmissibility)
Förutsatt att det handlar om en fast kropp så påverkar en kraft rakt genom hela kroppen. Enligt bilden skulle man kunna säga att den lika gärna påverkar punkt A som punkt B. Vilket är minst sagt trevligt då vi vill lägga ihop vektorer. (Kolla bilden)
Klassifikation av krafter
Krafterna är antingen Kontaktkrafter (contact forces) eller kroppskrafter (body forces).
En kontaktkraft är en kraft som är orsakad av direkt fysisk kontakt med en yta, typ en knuff av en hand.
En kroppskraft är en kraft som påverkar en kropp utan att den är i kontakt med en direkt yta utan påverkas av en kraft ändå, som i ett magnet- eller gravitationsfält.
Kraft och motkraft
I och med newtons tredje lag om kraft och motkraft kan det vara lätt att göra fel när du ska rita upp krafterna som påverkar ett visst objekt. Med andra ord: ta inte med motkraften när du isolerar en kropp. Ta bara med de krafter som påverkar kroppen och INTE de som kroppen påverkar.
Samtidiga krafter
Om två olika krafter påverkar en kropp är det viktigt att lägga ihop krafterna på rätt sätt. I och med överförbarheten räcker det med att hitta de platser på kroppen där krafternas "förlängning" finns, och sedan lägga ihop krafterna därifrån. (bild)
Vektorkomponenter
Vektorkomponenterna (dvs F1 och F2 i förra bilden) kan vara intressanta att jobba med. Men det är viktigt att inte blanda ihop vektorkomponenterna med den ortogonala projektionen av den resulterande kraften då de enbart är lika stora då vektorkomponenterna råkar vara ortogonala.
Ett lite speciellt sätt att lägga ihop vektorkomponenter på är då vektorerna är parallella. Lägg in två krafter från respektive krafts "point of application" som är riktade mot varandra och är lika stora. De kommer ta ut varandra, men det gör att du enklare kan hitta var den resulterande kraften av de "riktiga" vektorkomponenterna ska vara. (bild).
Nästa kapitel: Tvådimensionella kraftsystem
Har bara kollat lite på bilderna än så länge men det verkar mest handla om hur du ska lägga ihop krafter från olika vinklar var belastningen hamnar.
Nästa blogginlägg kommer nog att vara lite mer bantat eftersom det här inlägget var en sammanfattning av 4 sidor och nästa del är på ca 40 sidor. Men jag ska försöka få med det viktigaste och kanske till och med lösa en uppgift. Lärandet är en process och jag har än så länge inte riktigt lärt mig att sammanfatta kapitlena på ett kort och koncist sätt.
